Równanie Laplace’a

Niewątpliwie do jednych z najważniejszych równań różniczkowych cząstkowych należą równanie Laplace'a

\( \Delta u =0, \qquad x\in \Omega \)

oraz równanie Poissona

\( \Delta u +f=0, \qquad x\in \Omega , \)

gdzie \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest szukaną funkcją określoną na obszarze \( \hskip 0.3pc\Omega \subset\mathbb R^n \hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc x=(x_1, \dots ,x_n),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \Delta u =\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x_1}+\ldots +\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x_n},\hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją.
Równania te spotykamy przy opisie licznych zjawisk. Przypomnijmy niektóre z nich:

(i). Ustalony stan pola cieplnego. Zjawisko rozchodzenia się ciepła jest opisane równaniem \( \hskip 0.3pc u_t-\Delta u=0\hskip 0.3pc \). W przypadku pola stacjonarnego, tzn. takiego, że rozkład temperatury nie zmienia się w czasie, funkcja \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) nie zależy od czasu i spełnia równanie Laplace'a ( 1 ). Jeśli występują przy tym źródła ciepła, to spełnia ona równanie Poissona ( 2 ), gdzie funkcja \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) opisuje źródła ciepła.

(ii). Bezwirowy ruch cieczy. Przypuśćmy, że w pewnym ograniczonym obszarze występuje ruch cieczy nieściśliwej o prędkości \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \). Jeśli ruch cieczy jest bezwirowy, to prędkość \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) ma potencjał \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \). Jeśli ponadto pole jest beźródłowe, to \( \hskip 0.3pc \Delta \varphi =0\hskip 0.3pc \). Zatem potencjał \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) ustalonego pola elektrycznego spełnia równanie Laplace'a.

(iii). Pole elektrostatyczne. Przypuśćmy, że dane jest pole elektrostatyczne ładunków stacjonarnych i niech \( \hskip 0.3pc \rho (x,y,z) \hskip 0.3pc \) oznacza gęstość objętościową ładunków. Można pokazać, że potencjał elektrostatyczny pola \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) spełnia równanie \( \hskip 0.3pc \Delta \varphi =-4\pi \rho\hskip 0.3pc \), tzn. równanie Poissona. Gdy brak jest ładunków przestrzennych, potencjał spełnia równanie Laplace'a.
W literaturze nietrudno znaleźć wiele dalszych zjawisk które opisane są równaniami Laplace'a lub Poissona (zob. np. Feynmana wykłady z fizyki)

Rozwiązanie podstawowe równania Laplace'a.
Zastosujemy tutaj dość typowy dla teorii równań różniczkowych sposób postępowania. Najpierw znajdziemy stosunkowo proste rozwiązania równania wyjściowego, a następnie - przy pomocy tego rozwiązania - będziemy konstruuować dalsze rozwiązania, które spełniają żądane warunki, np. początkowe lub brzegowe. Takie rozwiązanie nazywamy rozwiązaniem podstawowym lub fundamentalnym.
Ponieważ równanie Laplace'a jest symetryczne względem zmiennych, a w konsekwencji niezmiennicze względem obrotów, naturalnym wydaje się szukać rozwiązań radialnych, tzn. rozwiązań zależnych tylko od odległości od początku układu.
Spróbujemy zatem znaleźć rozwiązanie równania ( 1 ) postaci

\( u(x_1, \ldots ,x_n)=v(r), \qquad \rm{gdzie}\quad r=\|x\|= \sqrt{x_1^2+\ldots x_n^2}. \)

Zauważmy, że dla \( \hskip 0.3pc r\ne 0\hskip 0.3pc \)

\( \dfrac{\partial r}{\partial x_i}=\dfrac{x_i}r, \qquad i=1, \ldots ,n. \)

Zatem

\( \dfrac{\partial u}{\partial x_i}= v^\prime(r)\dfrac{x_i}r, \qquad \dfrac{\partial u^2}{\partial x_i^2}= v^{\prime\prime}(r)\Big(\dfrac{x_i}r\Big)^2+v^\prime(r)\Big(\dfrac 1r-\dfrac{x_i^2}{r^3}\Big), \quad i=1, \ldots ,n. \)

Nietrudno teraz sprawdzić, że

\( \Delta u= v^{\prime\prime}(r)+\dfrac{n-1}rv^\prime(r). \)

Postawione zadanie sprowadza się zatem do rozwiązania równania

\( v^{\prime\prime}(r)+\dfrac{n-1}rv^\prime(r)=0. \)

Stąd

\( v^\prime(r)=\dfrac A{r^{n-1}}, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) jest dowolną stałą. Rozwiązując ostatnie równanie otrzymamy

\( v(r)=\begin{cases} A \ln r+B, & {\rm dla} \hskip 0.3pc n=2;\\ \dfrac {A}{r^{n-2}}+B, &{\rm dla } \hskip 0.3pc n\geq 3,\end{cases} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc B\hskip 0.3pc \) są dowolnymi stałymi. Ze względu na dalsze zastosowania wygodnie jest przyjąć \( \hskip 0.3pc B=0\hskip 0.3pc \), natomiast

\( A=\dfrac {-1}{2\pi}\hskip 0.5pc {\rm dla} \hskip 0.5pc n=2\hskip 0.7pc {\rm oraz}\hskip 0.7pc A = \dfrac{1}{n(n-2)\alpha(n)}\hskip 0.5pc {\rm dla} \hskip 0.5 pc n\geq 3, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \alpha (n)\hskip 0.3pc \) oznacza objętość kuli jednostkowej w przestrzeni \( \hskip 0.3pc \mathbb R^n.\hskip 0.3pc \) Zgodnie z tymi rozważaniami przyjmujemy następującą definicje rozwiązania podstawowego.

Definicja 1: Rozwiązania podstawowego.

Rozwiązaniem podstawowym równania Laplace'a ( 1 ) nazywamy funkcję

(3)

\( \Phi (x)=\begin{cases}-\dfrac{1}{2\pi} \ln \|x\|,& {\rm dla}\hskip 0.5pc n=2;\\ \dfrac {1}{n(n-2) \alpha (n)}\dfrac{1}{\|x\|^{n-2}}, & {\rm dla} \hskip 0.5pc n\geq 3.\end{cases} \)

Przykład 1:

Dla \( \hskip 0.3pc n=2\hskip 0.3pc \) rozwiązanie podstawowe ma postać

\( \Phi(x,y) = \dfrac 1{2\pi}\ln\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}. \)

Funkcję tę nazywamy również potencjałem logarytmicznym. Dla \( \hskip 0.3pc n=3\hskip 0.3pc \) rozwiązanie podstawowe ma postać

\( \Phi(x,y,z) = \dfrac{1}{4\pi \sqrt{x^2+y^2+z^2}}. \)

Rozwiązanie to nosi też nazwę potencjału newtonowskiego. Posiada ono prostą interpretację fizyczną. Mianowicie, umieszczony w punkcie \( \hskip 0.3pc P_0(x_0,y_0,z_0)\hskip 0.3pc \) ładunek elektryczny \( \hskip 0.3pc q\hskip 0.3pc \) wytwarza pole, którego potencjał \( \hskip 0.3pc u(x,y,z)\hskip 0.3pc \) w punkcie \( \hskip 0.3pc P(x,y,z)\hskip 0.3pc \) jest określony wzorem

\( u(x,y,z)=q \Phi(x-x_0,y-y_0,z-z_0) . \)

Lemat 1:

Niech \( \hskip 0.3pc B(0,\varepsilon )\hskip 0.3pc \) oznacza kulę o środku \( \hskip 0.3pc 0\hskip 0.3pc \) i promieniu \( \hskip 0.3pc \varepsilon\hskip 0.3pc \). Wówczas

\( \displaystyle\int_{B (0,\varepsilon )}\big|\Phi (x) \big|dx\to 0 \qquad {\rm gdy}\quad \varepsilon \to 0 \)

oraz

\( \displaystyle\int_{\partial B (0,\varepsilon)}|\Phi(x)| dS \to 0 \qquad {\rm gdy}\quad \varepsilon \to 0. \)

Teza lematu jest natychmiastową konsekwencją nierówności

\( \displaystyle\int_{B (0,\varepsilon )}\Phi (x)dx\,=\begin{cases}\dfrac 14\varepsilon^2 (1-2\ln \varepsilon), &{\rm jeśli } \hskip 0.5pc n=2;\\ C_1\varepsilon^2, & {\rm jeśli} \hskip 0.5pc n\geq 3\hskip 0.5pc \end{cases} \)

oraz

\( \displaystyle\int_{B (0,\varepsilon )}\Phi (x)dS\,=\begin{cases}\varepsilon \ln \varepsilon, & {\rm jeśli} \hskip 0.5pc n=2\hskip 0.5pc;\\C_2\varepsilon, & {\rm jeśli} \hskip 0.3pc n\geq 3,\hskip 0.3pc \end{cases} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc C_1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc C_2\hskip 0.3pc \) są stosownymi stałymi zależnymi od \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \).

W teorii równania Laplace'a niezmiernie ważne, ze względu na zastosowania, są: zagadnienie brzegowe Dirichleta, zagadnienie brzegowe Neumanna oraz zagadnienie brzegowe Robina, zwane też pierwszym, drugim i trzecim zagadnieniem brzegowym.
W dalszym ciągu podzbiór otwarty i spójny (tzn. taki że każde dwa punkty tego zbioru można połączyć krzywą zawartą w tym zbiorze) będziemy nazywać obszarem.

Zagadnienie Dirichleta (zagadnienie brzegowe pierwszego rodzaju). Znaleźć rozwiązanie równania ( 1 ) (lub ( 2 ) ) które jest ciągłe
w domknięciu obszaru \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) i spełniają warunek brzegowy

(4)

\( u(x)=\varphi (x) \quad {\rm dla}\hskip 0.5pc x\in \partial \Omega , \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \varphi :\partial \Omega \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją ciągłą, a \( \hskip 0.3pc \partial \Omega \hskip 0.3pc \) brzegiem obszaru \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \).

Zagadnienie Neumanna ( zaganienie brzegowe drugiego rodzaju). Załóżmy, że brzeg \( \hskip 0.3pc \partial \Omega \hskip 0.3pc \) obszaru \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \) jest gładki (tzn. w każdym punkcie zbioru \( \hskip 0.3pc \partial \Omega \hskip 0.3pc \) istnieje płaszczyzna styczna). Znaleźć rozwiązanie równania ( 1 ) (lub ( 2 ) ) określone w obszarze \( \hskip 0.3pc \Omega, \hskip 0.3pc \) klasy \( \hskip 0.3pc C^1\hskip 0.3pc \) w jego domknięciu i spełniające warunek

(5)

\( \dfrac{\partial u}{\partial \nu}(x)=\varphi (x) \quad {\rm dla}\hskip 0.5pc x\in \partial \Omega , \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \nu\hskip 0.3pc \) jest normalną zewnętrzną do \( \hskip 0.3pc \partial \Omega \hskip 0.3pc \) w punkcie \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \), a \( \hskip 0.3pc \varphi :\partial \Omega \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) zadaną funkcją ciągłą.

Zagadnienie Robina ( zagadnienie brzegowe trzeciego rodzaju). Znaleźć rozwiązanie równania ( 1 ) (lub ( 2 ) ) w obszarze \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \) spełniające warunek

(6)

\( a\dfrac{\partial u}{\partial \nu}(x)+bu(x)=g(x)\quad {\rm dla}\hskip 0.5pc x\in \partial \Omega , \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \partial \Omega \hskip 0.3pc \) jest brzegiem obszaru \( \hskip 0.3pc \Omega, \hskip 0.2pc \) \( \hskip 0.1pc a,\hskip 0.2pc \) \( \hskip 0.1pc b,\hskip 0.2pc \) \( \hskip 0.1pc g\hskip 0.3pc \) są danymi funkcjami określonymi na \( \hskip 0.3pc \partial \Omega ,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \nu\hskip 0.3pc \) jest normalną zewnętrzną do \( \hskip 0.3pc \partial \Omega .\hskip 0.3pc \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Równanie Laplace’a

Definicja 1: Rozwiązania podstawowego.

Przykład 1:

Lemat 1: